Kvadratické nerovnice

Kvadratické nerovnice můžeme řešit v podstatě třemi způsoby:

Výsledkem může být:

  • prázdná množina
  • číslo
  • interval
  • dva intervaly

Grafické řešení kvadratických nerovnic

Při grafickém řešení kvadratických nerovnic se předpokládá pokročilá znalost kvadratických funkcí. Nejprve si kvadratický výraz vyneseme jako kvadratickou funkci do grafu a potom se podle nerovnítka rozhodujeme, která část křivky odpovídá nerovnosti. Interval na ose x odpovídající vyhovující části křivky je řešením nerovnice. Při vynášení funkcí do grafu mohou vzniknout v podstatě tři situace.

 

1. Příklad funkce Možný výsledek nerovnice
Náčrt grafu všechna reálná čísla
prázdná množina
2. Příklad funkce  
Náčrt grafu všechna reálná čísla
prázdná množina
číslo
dva intervaly
3. Příklad funkce  
Náčrt grafu jeden interval - vnitřní
dva intervaly - krajní

 

Řešení kvadratických nerovnic dosazováním

Postupujeme tak, že si nejprve vypočítáme kořeny kvadratické rovnice vzniklé z kvadratické nerovnice. Mohou nastat tři situace:

  1. rovnice má 2 reálné kořeny x1, x2 - dostáváme 3 intervaly
  2. rovnice má 1 dvojnásobný kořen x - dostáváme 2 intervaly
  3. rovnice nemá žádný reálný kořen - dostáváme 1 interval

Následně si zvolíme x z každého intervalu a dosadíme do nerovnosti. Pokud je nerovnost splněna, je daný interval řešením nerovnice. V případě 1, kde máme 3 intervaly, mohou vyjít jen dvě možnosti, buď budou řešením oba krajní intervaly, nebo prostřední interval. Pokud je to možné, je velmi výhodné volit x = 0.

 

Řešení kvadratických nerovnic rozkladem na součin

Tato metoda je omezená jen na případy, kdy kvadratická rovnice vzniklá z nerovnice má dva reálné kořeny x1, x2. Můžeme si udělat převod kvadratického členu na součin podle předpisu:

 
+/- +/- +/-
+/- +/- +/-
Výsledné znaménko +/- +/- +/-
Poznámka: Kulaté závorky u x1, x2 odpovídají ostré nerovnosti.

Výsledkem jsou ty intervaly, kde výsledné znaménko výrazu po dosazení odpovídá původní nerovnosti. Tuto metodu je výhodné aplikovat pouze je-li kvadratická rovnice zadána v součinovém tvaru ( například: (x - 1)(2x + 3) > 0), jinak je lepší dávat přednost výše uvedeným metodám, které jsou univerzálnější. Tento způsob řešení je totožný se způsobem řešení nerovnic v podílovém tvaru:

Konkrétní příklady počítání kvadratických nerovnic najdete zde.

Online konzultace Aristoteles.Cz Matematika Chemie