Gaussova eliminační metoda - Gaussova eliminace

Gaussova eliminační metoda - příklady
Soustavy rovnic

Princip Gaussovy eliminační metody

Gaussovu eliminaci používáme pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Gaussovu eliminační metodu můžeme rozdělit do několika kroků:

  1. Úprava na horní trojúhelníkovou (HT) matici.
  2. Rozhodnutí, zda-li je soustava řešitelná, či nikoli.
  3. Určení počtu volitelných neznámých.
  4. Přepis řádků matice do rovnic. Dosazení do rovnic a výpočet neznámých.

Postup Gaussovy elimační metody si demonstrujeme na soustavě tří rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3. Metoda se samozřejmě dá aplikovat i na další soustavy.

1. Gaussova eliminace - úprava na HT matici

  1. krok - první řádek matice vynásobíme takovým -k1, aby po součtu s druhým řádkem bylo a21 = 0
  2. krok - první řádek matice vynásobíme takovým -k2, aby po součtu s třetím řádkem bylo a31 = 0
  3. krok - druhý řádek matice vynásobíme takovým -k3, aby po součtu s třetím řádkem bylo a32 = 0

Někdy může být postup díky nedělitelnosti jednotlivých koeficientů o trochu složitější. Jak postupovat v takových případech si ukážeme na konkrétních příkladech.

2. Gaussova eliminace - otázka řešitelnosti soustavy

Nejprve si určíme hodnost matice A - h(A) a hodnost rozšíření matice - h(A|b).

  1. Soustava nemá řešení pokud h(A|b) > h(A) (vždy když )
  2. Soustava má řešení pokud h(A|b) = h(A)

 

3. Počet volitelných neznámých - počet parametrizovaných neznámých

Číslo k nám udává počet volitelných neznámých, které si nahradíme parametry, n je počet neznámých. Někdy je číslo k označováno jako stupeň volnosti.

Pokud k = 0, pak dostáváme jednoznačné řešení typu x1 = 2, x2 = 3, x3 = 10.

Pokud k = 1, pak dostáváme řešení typu x1 = 2 - p, x2 = 3 + p, x3 = p. Kde jsme si zvolili x3 jako parametr p. Na střední a základní škole o soustavách s takovýmto výsledkem říkáme, že mají nekonečně mnoho řešení.

4. Přepis řádků matice do rovnic a vyjádření neznámých

Z redukované matice A|b si přepíšeme všechny řádky a začneme odspoda vyjadřovat neznámé:

Online konzultace Aristoteles.Cz Matematika Chemie