Řešte diferenciální rovnici:

Nejprve nalezneme obecné řešení přiřazené homogenní rovnice:

Vyřešíme charakteristickou rovnici:

Obecné řešení přiřazené homogenní rovnice je:

Variace konstant - konstanty c1 a c2 označíme v dalším textu jako proměnné x:

Nyní budeme hledat partikulární řešení původní rovnice, obecně ho zapíšeme jako:

Platí, že:

Provedeme první a druhou derivaci obecného partikulárního řešení:

A dosadíme do původní rovnice, místo ci(x) píšeme pro urychlení jen ci:

Dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:

Kterou řešíme Cramerovým pravidlem. Determinant D nazýváme Wronskián.

Zintegrujeme (pomocí per partes) c1´, abychom dostali c1:

a stejně tak c2´, abychom dostali c2:

Po zintegrování dostáváme:

Partikulární řešení:

Obecné řešení nehomogenní rovnice má tvar:

 

 

 

Online konzultace Aristoteles.Cz Matematika Chemie